とあるサイトということはDNSサーバーが死んでいるわけではない。ということは、単純にそのDNSがそのドメイン限定で名前解決出来ない要因を持っていると考えるのが妥当。

セキュリティソフトを動かした状態で8.8.8.8や8.8.4.4といったGoogleのPublicDNSで解決しているなら、セキュリティソフトの問題ではないかと。

PublicDNSに接続したあとデフォルトに戻しても「PCでは見れるようになった」というのはWindowsのDNSキャッシュ機能が働いているから。
コマンドプロンプト上で「ipconfig /flushdns」を実行するとキャッシュが削除されるので恐らくそのサイトへのエラーが出てくるはず。

スマホから表示されないところを見ると、ルーターにはDNSキャッシュ機能はない。

なので、Windowsのコマンドプロンプト上で「nslookup [ドメイン名] 」をしてDNSサーバーへ問い合わせるとIPアドレスが返って来ないはずだ。また、「nslookup [ドメイン名] 8.8.8.8 」と8.8.8.8に問い合わせるようにすると返ってくるはずだ。

解決方法は様々だが、ルータのセカンダリDNSの設定をPublicDNSなどにすることを勧める。端末接続するたびに静的な設定は大変だろうし、IPと一緒にDHCPで受け取るべきかと。プライマリはプロバイダのデフォルトで良いだろう。