IMAP対応のメールクライアントで、別のアカウントの受信フォルダや送信フォルダに、中身を全部コピぺすればいい話じゃないの？
特別な知識がなくても簡単にメールのデータだけならコピーとかできるよ。

自分はThunderbirdでIMAPのアカウント間で、コピーとか移動とかで、まるごとメールのデータを新しい方に移したりしたけれど。