申請された年休に対して管理者が行使できるのは時季変更権のみ。
「人が足りない」「その日に休まれたら業務が回らない」というのは年休却下の理由にならないよ。
業務運行をどうするのか、を考えるのは役職者や管理者の仕事。
とにかく出してみなよ。
もし却下されたら労基署へ行けばいい。