三分木の場合の証明は以下のようになりますね。


三分木において、深さ d までの葉の総数が 3^d + 1 個以上である三分木が存在すると仮定する。
深さ d までの葉の総数が最多である三分木を T とする。

このとき、 T には深さ d 未満の葉が少なくとも一つ存在する。もしそうでないと仮定すると、 T の
すべての葉の深さは d 以上であるから、明らかに深さ d までの葉の総数は 3^d 個以下に
なってしまうが、これは矛盾である。

T の深さ d 未満の葉に子ノードを持たせれば、深さ d までの葉の総数が T よりも多い三分木が存在する
ことになってしまい矛盾が発生する。

よって、において、深さ d までの葉の総数は 3^d 個以下である。