むむ、これは、、本当にバグなのかもしれません。
今、限りなくソースをそぎ落としていってるんですが
それでもその症状が出ます。

ほんと、プレイヤーのスクリプトでやってることは
x = Input.GetAxisRaw("Horizontal");
if(x==0){
//止まる処理
}
else if(x>0){
//右へ移動処理
}
else if(x<0){
//左へ移動処理
}
if(Input.GetKeyDown("space") ){
 ジャンプ処理
}

だけなんです。
リスタート後、xにすでに値が入らなくなるので
自分の移動処理やその他のスクリプトは関係無いはずです。