void Awake()
{
DontDestroyOnLoad(gameObject);
SceneManager.sceneLoaded += SceneChanged;
}

private void OnDestroy()
{
SceneManager.sceneLoaded -= SceneChanged;
}

void SceneChanged(Scene scene, LoadSceneMode mode)
{
if(scene.name == "Scene7")
{
Destroy(gameObject);
}
}

Awakeはインスタンスがロードされたときに1回呼ばれるだけだから、シーン判定と削除しょりをそこでやってもダメ。

シーンが移動したときに起きるイベントがあるので、それを検出できるように登録しておいて
シーンがロードされたときにSceneChangedが呼んでもらえるようにする。
SceneChangedは好きな名前でおｋ

まあSceneChangedでやってることをUpdateで毎フレームやっても別にいいけどね・・・