試しみてうまくいったように一瞬思ったのですが、今度はショットが出っぱなしになってしまいました。
やはりシーンチェンジ＞シーン開始の最初のクリックはdownもupも受け付けてくれないようなのです。
どうすればいいんでしょうか？
Globalというスクリプトを作りstatic bool osippanasiというフラグ用の変数を作りました。
以下はプレイヤーを動作するプレイヤースクリプトです。

if (Input.GetMouseButtonDown(0)) { Global.osippanasi = true; }
if (Input.GetMouseButtonUp(0)) { Global.osippanasi = false; }
if (Global.osippanasi){//ショット撃つ処理; }