洗剤だけでは落ちにくい緑青が重曹で落ちやすくなってるだけ。緑青は水が付くだけでも出るから重曹で洗ってもまた出る。こまめにやるしかない。
重曹と水のペーストで真鍮をブラシで擦って、あとは洗剤で洗えばいいんじゃない？
洗える帽子は金属とか革パーツ取り外せる気の利いた物を選びたいね。