>>421 です。解決しましたので報告します。

using System.Collections;
using System.Collections.Generic;
using UnityEngine;

public class BoxMove : MonoBehaviour
{
//ハンドルの GameObject を指定させる
public GameObject Handle;

//ハンドルの角度と回転軸
private float HandleAngle;
private Vector3 HandleAxis;

void Update()
{
//ハンドルの角度と回転軸を取得
Handle.transform.localRotation.ToAngleAxis(out HandleAngle, out HandleAxis);

//偶数周目では回転軸の向きが反転するので、それを検知して角度を修正する
if(HandleAxis.x < 0)
{
HandleAngle = 360 - HandleAngle;
}

//ハンドルの角度に応じて箱を移動させる
this.transform.localPosition = new Vector3(0, 0, HandleAngle);
}
}