>>569 ~ >>571
すみません、仰る通り HandleAngle については見やすくするために負の値で表現しました。実際は

実際の角度：0 ~ 90 ~ 180 ~ 270 ~ 360 (0)
HandleAngle ：0 ~ 90 ~ 0/360 ~ 270 ~ 360/0

です。

軸が反転する理由はよく分からないのですが、とりあえずそういうものだと受け入れて対処したという状況です。
Unity公式のクォータニオンの説明（ https://docs.unity3d.com/ja/2018.4/Manual/QuaternionAndEulerRotationsInUnity.html ）では、角度は180°までしか表現できないとあります。
これは恐らく、
『ベクトル a 周りの (180 + x)° の回転 = ベクトル -a 周りの (180 - x)° の回転』
と表現される、という意味だと解釈したのですが、なぜか ToAngleAxis で返される Angle の値の範囲は0から360なんです。

一方、Quaternion.w = cos(θ/2) であることから、Quaternion.w からarccosによって角度を求める際、Quaternion.w と角度が一対一対応になるのは 0° < θ/2 < 180° すなわち 0° < θ < 360° ですから、角度を0から360で処理していても不都合は無いと思うのですが…
上の式で x に 180 + x を代入すれば、
『ベクトル a 周りの (360 + x)° の回転 = ベクトル -a 周りの -x° の回転』
となって私のと同じ状態になるので、この辺が絡んでいるのではないかと思っているのですが、よく分かりません。