>>586
シーン内に保存可能なものは原則以下のみです。
・数値、文字列、真偽値などのパラメータ。(正確にはそれらで構成されたクラスや構造体も)
・シーン内の他のオブジェクトやコンポーネントへの参照。
・プロジェクト内のアセットへの参照。(Material,AudioClip,AnimatorController,Avatar等...)

シーン上でAnimatorコンポーネントがついたオブジェクトを選択したときに出てくるInspectorの項目のうち、
ControllerとAvatarの項目はProject内のアセットを参照しています。つまり3番目です。

どのAnimatorControllerアセットを利用するかはシーンに保存されていますが、
ステートはAnimatorControllerアセットとしてプロジェクト内に保存されています。

1シーン1モーションで対応を取りたいのであればAnimatorControllerアセット自体を複数作成し、
それぞれのシーンのAnimatorに設定する必要があります。

参照を設定済みの状態でフィールドをダブルクリックすると、Unityは気を利かせて参照中のアセットの編集画面を開いてくれるので
恐らくこの挙動をみてシーンに保存されていると勘違いしてしまったのではないでしょうか?