物理エンジンで打ち上げたボールの落下地点付近に足を持っていくみたいなのは相当難しいけど、上に蹴り上げてるだけなら楽勝でしょ
物理エンジンは初心者には制御不能なレベルで荒ぶる時があるから、超リアルな挙動を目指してるわけじゃないなら
大人しくtransform.positionで動かしたほうが確実

何度も反応するのはInput.Get～の区別がついてないだけじゃないの？
GetButtondownは1回のみだが、Getbuttonは押してる間ずっと、3フレーム間押していれば3回呼ばれる
あとアニメーション中は入力を受け付けない様にしないと蹴り上げてる最中に再び蹴り上げるぞ