さて２つのB-spline曲線をF(t),G(t) とする。
２つの曲線上の点を結ぶ大陸間横断線分が海域を等密度で並ぶようにし,F,G間の関係式を求めてみよう。
まずその線分が微小移動したときにできる細い四角形の面積を求める。
２つのベクトルのなす三角形の面積の外積公式より
A=(1/2)*|ΔF×L|
B=(1/2)*|ΔG×(-L)| (面積が負にならないようにベクトルの向きを逆にするといい)
A+Bが細い四角形の面積であり、これを大陸間横断線分の長さ|L|で割ったものを密度と定義し一定であればよい。
なおLは大陸間横断線分のベクトルであり、後に積分するので移動前と移動後とは近似できる。
(A+B)/|L|=C ただしCは定数
A+B=C*|L|と変形し両辺積分する。積分範囲は上記ですでに求めてある。
∫Adt+∫Bdt=曲線の長さの関数の定数倍=c(t)
F(t)=F(Fx(t),Fy(t)),G(t)=G(Gx(t),Gy(t))とすると
c(t)=∫(Fx'*(Gy-Fy)-Fy'*(Gx-Fx))dt-∫(Gx'*(Gy-Fy)-Gy'*(Gx-Fx))dt
c(t)=∫(Fx'-Gx')*(Gy-Fy)dt + ∫(Gy'-Fy')*(Gx-Fx)dt
c(t)=-∫(Gx-Fx)'*(Gy-Fy)dt + ∫(Gx-Fx)*(Gy-Fy)'dt
部分積分の公式より
c(t)=-∫(Gx-Fx)'*(Gy-Fy)dt +[(Gx-Fx)*(Gy-Fy)](a→b)- ∫(Gx-Fx)'*(Gy-Fy)dt
c(t)=[(Gx-Fx)*(Gy-Fy)](a→b)- 2∫(Gx-Fx)'*(Gy-Fy)dt　・・・(1)
この式はこれ以上簡単にならないように思えるが、B-spline曲線はベジェ曲線の集まりであるから各ベジェでこの積分式を解くことができる。
c(t)もB-spline曲線の性質により簡単に求まるので、F(t)とG(t)の関係式が得られる。
関係式が得られたら線分と中点も求まる。
なお辺が交差して四角形が崩れないようにするには大陸間横断線分が他の部分と交差しないように湾を削っておけばよい。

>>598
どんな曲線でもいいわけではなく(1)が解けなければいけない。