開発と実行環境の違いが分かって無いな
動かすのはランタイムのみでOK
Linuxサーバーに.NET Coreランタイムのみ入れればASP.NET Coreが動く

開発はWindowsPC、Linuxデスクトップ、MacOS PCで開発出来る
(C#、VB.NETでOK)
.NET Core使うのはサーバーアプリケーション(Javaで言うサーブレット)
.NET Framework使うのはそれ以外