確率が変動しないのは、看守の選択がAにとって何の情報も無かったときだけ

すなわち、BでもCでもいいときに、きっちり1/2の確率でBと答える人のときだけ。

これって問題文から暗黙的に成立するとはいえない。
仮定するのは勝手だけど、その仮定を書かないと議論にならない。