シェルのバックグラウンドジョブとtrapとシグナルについての理解がしたいです。
手許の環境はBashですが、コマンドライン自体はPOSIXに準じているつもりです。

{ trap -- 'echo trapped; exit' QUIT; echo start; sleep 5& wait $!; echo end; }&
↑このコマンドラインを実行すると
すぐにプロンプトが帰ってきて
start
# 5秒後
end
↑などと出力されます。
一方で
{ trap -- 'echo trapped; exit' QUIT; echo start; sleep 5& wait $!; echo end; }& sleep 1; kill -s QUIT $!
↑このコマンドラインを実行すると
start
# 1秒後
trapped
↑と出力されますが（少なくとも手許では）、
バックグランドジョブに回した直後のsleepを除去すると↓
{ trap -- 'echo trapped; exit' QUIT; echo start; sleep 5& wait $!; echo end; }& kill -s QUIT $!
何も出力されなくなります。
最後のコマンドラインでもsleep 1を挿入した時と同じ挙動（start→#1秒後→trappedと表示）に
させるにはどうすればいいでしょうか。
どうかご教示ください。