>>290
多分非同期処理って調べるとasyncの例ばかりで自分で戻り制御する方法がよく
分からなくてTaskクラスでWaitすれば出来るとかって結論に達したんでないかと
思うのだけど・・・

まず、async指定されたメソッドは呼び出されるとメソッド全体を別スレッドとして
起動して処理を元のスレッド(この場合STAスレッド)に戻します
asyncメソッドの中でawaitを指定すると、メソッドの内容に関係なく元のスレッドに
戻るのは変わらないですが、asyncメソッドの中でawaitで指定されたメソッドが
終了するまでasyncメソッドのスレッドだけが待ち状態になり、awaitから返って
くるとawait以降を実行しasyncメソッドの最後まで行くとasyncメソッドのスレッド
だけが終了されます

検証してないので予想なのですが、Taskクラスで管理するスレッドを起動して
いない(Task.Run)状態でWaitをかけるとSTAスレッドを待つためにsleepして
しまいますがSTAスレッドはループスレッドなので当然いつまで待っても終了
しません
asyncスレッドではawaitの処理が終わって復帰しようとしても元になるSTA
スレッドがsleep状態なので、こちらもawaitから返ってこないみたいなことが
起こっているのだと思います

2のコンソールアプリの場合にはループスレッドではないのでMainの処理が
終了した時点で続きが動くのではないかと

3は正しい使い方で、STAスレッドは動かしたままbutton1_Clickメソッドが別スレッドで
動作する際にclient.GetStringAsyncの処理を待っているので普通に動作します

button1_Clickの中で待つのであればasyncメソッドを作る意味がないですし、async
メソッドで裏で動かすのであればbutton1_Clickで待ってはいけないので3の様な
形で実装するか、asyncメソッドの返却値をただのstringにして、textBox1.Textに
メソッドの返却値が入る形式に変える(こっちは試してないので嘘かも)のが正解じゃ
ないかな