"|grep "bk-$(日付).tar"
tmpフォルダには、"bk-日付.tar"という名前のファイルが確かに置いてあります

この「日付」って、日本語を使っているの？
基本的に、半角英数字・ascii 以外は、動かないのでは？

日本語には、CP932・UTF-8/16/32 の4つのエンコードがあって、
各OS・ファイルシステム・端末の入出力によって異なるから