s/\[\[(.*?(\|(`*?)))\]\]/$3 ? $3 : $1/ge
のパターンで試してみましたが、結果は「インプット メソッド エディタ|IME」
と置換されてしまいます。
(.*?)の部分で、|以降の文字列も含めてマッチングされているようで
それ以降のパターンマッチが効いてないようです。