>>750
コンテスト中だと直感で済ませちゃうけど、ちゃんと証明書こうとするとめんどいやつだ

全ての点対の距離がd以上であるような4点が正方形領域内にあると仮定する。
この四点をA,B,C,Dとし、四角形ABCDを考える。
(1)全ての頂点の角度が180°未満のとき
角度が90°以上である頂点が存在、これをAとしても一般性を失わない。
ここで余弦定理より、BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 AB AD cos∠BAD >= AB^2 + AD^2 >= 2 d^2
よって、BD >= √2d
(2)ある頂点の角度が180°以上のとき
角度が180°以上である頂点をAとしても一般性を失わない。
ここで、∠BAC+∠DAC>=180°なので∠BACと∠DACのいずれかは90°以上。
∠BACを90°以上としても一般性を失わない。
(1)と同様の議論により、BC >= √2d

正方形領域内の点対距離は√2d未満（座標計算普通にやれば示せると思う）
(1),(2)のいずれの場合においても矛盾が生じる。
（証明終）