プログラミングのお題スレです。
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プログラミングのお題スレ Part10
https://mevius.5ch.net/test/read.cgi/tech/1514772904/
【出題と回答例】
1 名前：デフォルトの名無しさん
お題：お題本文
2 名前：デフォルトの名無しさん
>>1 使用言語
回答本文
【ソースコードが長くなったら】 (オンラインでコードを実行できる)
https://ideone.com/
http://codepad.org/
http://compileonline.com/
http://rextester.com/runcode
https://runnable.com/
https://code.hackerearth.com/
http://melpon.org/wandbox
https://paiza.io/
宿題は宿題スレがあるのでそちらへ。
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プログラミングのお題スレ Part11
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2018/04/24(火) 20:45:14.49ID:ZY7R7Sru
>>114
＞一般に exp(z) と ネイピア数のz乗は別物です
それは心得ているつもりです。
以下、結構雑に書きますが、
exp(z)=Σz^n/n!…①
と定義する。
このときも①が収束すること、および
exp(z1 + z2) = exp(z1)exp(z2), z1, z2 ∈C…②
が成立することを暗黙の了解とする
z∈C, z = x + jy, x, y ∈R のとき
exp(z) = exp(x)exp(jy) …③(∵②）
exp(x) = Σx^n/n! = e^x
exp(jy) = 1 + (yj)/1! - y^2/2! - j・y^3/3! + y^4/4! + j・y^5/5! + …
=(1 - y^2/2! + y^4/4! - …) + j ・ (y/1! - y^3/3! + y^5/5! - …）
=cos(y) + j・sin(y)
すなわち exp(z) = e^x・(cos(y) + j・sin(y))…④
以上の議論は手元の教科書の引き写しです。
＞一般に exp(z) と ネイピア数のz乗は別物です
それは心得ているつもりです。
以下、結構雑に書きますが、
exp(z)=Σz^n/n!…①
と定義する。
このときも①が収束すること、および
exp(z1 + z2) = exp(z1)exp(z2), z1, z2 ∈C…②
が成立することを暗黙の了解とする
z∈C, z = x + jy, x, y ∈R のとき
exp(z) = exp(x)exp(jy) …③(∵②）
exp(x) = Σx^n/n! = e^x
exp(jy) = 1 + (yj)/1! - y^2/2! - j・y^3/3! + y^4/4! + j・y^5/5! + …
=(1 - y^2/2! + y^4/4! - …) + j ・ (y/1! - y^3/3! + y^5/5! - …）
=cos(y) + j・sin(y)
すなわち exp(z) = e^x・(cos(y) + j・sin(y))…④
以上の議論は手元の教科書の引き写しです。
>>121 続き
＞従って②の定義は「exp(x + jy) = exp(x)・(cos(y) + j・sin(y))」としなければならないし
以上より exp(x + jy) = e^x・(cos(y) + j・sin(y)) …④で問題ありません。
だから、x ∈ R とすれば exp(x) = e^x(cos0 + j・sin0) = e^x になります
つまり
>>114 をより正確にいえば
「exp(x) は e^x の自然な拡張」となり、>>112 は誤りとなります
また exp(z) の絶対値を考えると
.(exp(x + jy)) = √((e^x・cos(y))^2 + (e^x・sin(y))^2)
= e^x・√(cos^2(y) + sin^2(y))
= e^x
すなわち |exp(z)| = |e^x| すなわち複素指数関数の絶対値は引数の実部によって決まり、引数の虚部の影響を受けません
以上の議論は
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%8C%87%E6%95%B0%E5%87%BD%E6%95%B0
に書いてありました
＞従って②の定義は「exp(x + jy) = exp(x)・(cos(y) + j・sin(y))」としなければならないし
以上より exp(x + jy) = e^x・(cos(y) + j・sin(y)) …④で問題ありません。
だから、x ∈ R とすれば exp(x) = e^x(cos0 + j・sin0) = e^x になります
つまり
>>114 をより正確にいえば
「exp(x) は e^x の自然な拡張」となり、>>112 は誤りとなります
また exp(z) の絶対値を考えると
.(exp(x + jy)) = √((e^x・cos(y))^2 + (e^x・sin(y))^2)
= e^x・√(cos^2(y) + sin^2(y))
= e^x
すなわち |exp(z)| = |e^x| すなわち複素指数関数の絶対値は引数の実部によって決まり、引数の虚部の影響を受けません
以上の議論は
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%8C%87%E6%95%B0%E5%87%BD%E6%95%B0
に書いてありました
>>122 続き
今 exp(z) = -1, z ∈C
>>122 ④より
exp(x + yj) = -1, x, y ∈R
e^x(cos(y) + j・sin(y)) = -1
e^x・cos(y) + j・e^x・sin(y) = -1…⑤
よって⑤の両辺の虚部が 0 だから
e^x・sin(y) = 0
e^x > 0 より sin(y) = 0
y = nπ…⑤（必要条件）
このとき
cos(y) = ±1
このとき⑤の両辺の実部を比較して
e^x(±1) = -1
e^x > 0 だから cos(y) = -1 となるのは⑤の中でも y = (2n + 1)π, n ∈Zのときのみ
また y = (2n + 1)π のとき、e^x = 1, x = 0
>>109
exp(z) の絶対値は z の実部にのみ影響されます
exp(z) = -1 から |exp(z)| = 1
|exp(z)| = e^x
ですから
e^x = 1
これを満たすのは x = 0 のみ、という推論はどうでしょうか？
今 exp(z) = -1, z ∈C
>>122 ④より
exp(x + yj) = -1, x, y ∈R
e^x(cos(y) + j・sin(y)) = -1
e^x・cos(y) + j・e^x・sin(y) = -1…⑤
よって⑤の両辺の虚部が 0 だから
e^x・sin(y) = 0
e^x > 0 より sin(y) = 0
y = nπ…⑤（必要条件）
このとき
cos(y) = ±1
このとき⑤の両辺の実部を比較して
e^x(±1) = -1
e^x > 0 だから cos(y) = -1 となるのは⑤の中でも y = (2n + 1)π, n ∈Zのときのみ
また y = (2n + 1)π のとき、e^x = 1, x = 0
>>109
exp(z) の絶対値は z の実部にのみ影響されます
exp(z) = -1 から |exp(z)| = 1
|exp(z)| = e^x
ですから
e^x = 1
これを満たすのは x = 0 のみ、という推論はどうでしょうか？
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