>>290
set<>::iterator は　const をつけていなくても set<>::const_iterator と同じくイテレータ≒ポインタに const 属性がつきます。
だから　set<>::iterator p; …①、と宣言した場合の p には「終生」 const 属性がつきまとうことになります。
例えば①の p にポインタ演算子 * を適用して出来た表現「*p」が参照に読み替えることがあれば、その参照は const 参照でなければなりません。

もともと const 属性はポインタにつけて、const 属性のついたポインタに -> 演算子を使って出来たメンバ変数の値を変更しないようにコンパイル時に厳密にチェックする縛りです
c++ における参照は「機械的にポインタを使った書き方に書き直すこと」が可能（…②※）ですから、const なイテレータ（≒ポインタ）から生成した参照は const な参照にならざるを得ないのです
※②は私の持論で、今回のお題でも参照をポインタに全部書き換えてやろうと試行錯誤していましたが、さすがに iostream や set で先に参照として宣言されているものを後からポインタにするのは不可能でした
頑張ってみたけれども、かえって意味不明な https://ideone.com/Yc0YvT　ぐらいにしかならなかった、持論は修正しなくてはいけないなあ…

set は重複要素を許さない二分木構造です。二分木構造 set に要素を挿入するときに、要素の大小関係にしたがって二分木の形をくみ上げていきます。
だからすでに二分木に組み込まれてしまった要素が、後からほいほいと要素の内容を変えられてしまっては二分木構造に矛盾をきたし、役に立たなくなってしまう…
だから set にすでに組み込まれている要素をイテレータで走査するときは、そのイテレータ≒ポインタは、メンバの書き換えが不可能なイテレータとするしかないか、と私は考えます

提示していただいたソースを、上に述べた原則にしたがって、この原則に関係ない余分な部分を削り落として書く（あと、ちょっと簡略化もしています）と次のような感じでしょうか。
https://ideone.com/Zr1qIH
friend 略　operator<<(略 C const &obj) { ... }
にならなくてはならないのは set<C>::iterator は set<C>::const_iterator と同じだからです
friend bool operator<(C const &a, C const &b) は set への要素の挿入のときに使う比較関数ですが、比較作業以外に要素のメンバを変えるとか余計なことをさせないために、最初から const 参照で宣言するべきでしょうし、そうなっているみたいですね

しかし、この const 属性はプログラミング 3 年生くらいまでは、かなり分かりにくい縛りであることは、私の経験からもとても理解できます。
ポインタや参照をしっかり理解しないことには、わざわざ自分を縛る const のありがたみもよく理解できないだろうと、私も同情するのです。そういうときは、const_iterator p から作った表現 *p が展開された先の実際の表現を、「*p のコピー・オブジェクトのコピー」にするのがいいでしょう
上記のお題をこの方針で書くとこうなります。
https://ideone.com/G42gUs

いろいろ書きすぎたかもしれませんが、上に示した三つのソースコードを研究してみてください