DOM APIはJavaScript専用です。
wasmからJS経由せずにDOMを触る方法はありません。
これはCだろうがRustだろうがC#だろうが変わりません。
DOMの実装はC++ですが、上記の状況とはまったく関係のない話です。
C++だろうがwasmからJS経由せずにDOMは触れません。
嘘を千回繰り返しても本当にはなりません。