ええと、k=1の場合は
P(x) を x 以上となる確率として \int_0^{\infty} P(x) dx が求められれば良い
x 以上となるような区切りの入れ方は[0, 1-nx] に区切りをn-1本入れて、各区切りの間に幅xを挿入したものと一対一対応するので
P(x) = (1-nx)^{n-1}
よってk=1の答えは \int_0^{\infty} P(x) dx = 1/n^2
みたいな感じでいいでしょうか