一旦、要素 tDate_elem を取得しておいてから、
その textContent に値を設定する。
つまり更新

const tBody = ItemList.item(i).textContent;

const tDate_elem = ItemDate.item(i) // 要素
const tDate = tDate_elem.textContent;
console.log( tDate ); //=> 0000

const replaceDate = tBody.split("*")[1];
console.log( replaceDate ); //=> 2023.08.15

tDate_elem.textContent = replaceDate; // 設定

表示
おはようございます*2023.08.15
2023.08.15

ごきげんよう*2023.08.20
2023.08.20