「数学」をプログラミングするには

**デフォルトの名無しさん** · 2024/03/16(土) 19:41:45.98

たとえば、プログラミングで

π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...

を近似ではなく厳密に確かめるにはどうしたらいいの
人間が証明できるってことは、有限なアルゴリズムに書き換えられると思うんだけど

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 09:49:54.71

>>301
その存在示すのに、切断やコーシー列使うんやろ

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 10:50:20.08

>>302
存在とは？

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 11:21:19.32

数学系のためのLean勉強会
https://haruhisa-enomoto.github.io/lean-math-workshop/

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 12:00:05.12

>>303
実数体Rの存在

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 12:44:15.61

>>305
だから存在をどうやって示すんだ

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 12:50:03.22

>>306
クロネッカーみたいだな。

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 14:37:35.85

>>306
微分積分の教科書読めよ

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 15:20:17.14

>>306 >>308
微積というよりも解析だな。

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 16:24:37.72

>>308,309
お前が言うなｗｗｗ

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 16:25:33.86

上に書いておいただろ、ど素人目が

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 17:00:38.31

素人はお前だ
イキがんな

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 17:32:13.23

自己紹介乙

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 17:36:31.60

上から目線で語ったと思ったら実は下だった件ｗ

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 17:36:43.64

>>306
> だから存在をどうやって示すんだ

こんな解析学の教科書の最初に書いてあることが分からずに実数論の講釈を垂れてた恥ずかしいやつ→ID:scEUff9F

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 17:40:34.97

>>315
証明してくれ

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 18:18:17.39

>>315
証明できないのならどの本の何ページに証明が書いてあるのか教えてくれ

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 18:41:51.88

デデキント切断や完備化などが出てきても
有理数を既知として実数体を構成しているということが理解できない
これでは数学書をいくら読んでもザルで水をすくうようなもの

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 18:47:48.86

横からだけど>>317は
理系の大学数学(所謂現代数学)における論理展開の流れや
存在の証明とされるパターンが分かってないから、かなりの独学なのかな

始めの内は簡単な教科書を(定理部分だけ)拾い読みするんじゃなくて
書いてある文章や定義、証明を精読しないと論理展開が抜け落ちて話が通じないよ

>>318が書いてくれたか、任せた

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 19:01:28.04

存在論を厳密にやり過ぎるとクソどうでもいい心理学の信者が増える

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 19:39:20.03

Q = 有理数の全体
Qの部分集合A, Bの組(A, B)で以下をみたすものをQの切断という

A ≠ ∅, B ≠ ∅
A∪B = Q
a∈A, b∈B ⇒ a < b

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 19:39:48.13

Qの切断C = (A, B)に対して、論理的には次の4つの可能性がある

(1) Aは最大元をもち、Bも最小元をもつ
(2) Aは最大元をもつが、Bは最小元をもたない
(3) Aは最大元をもたないが、Bは最小元をもつ
(4) Aは最大元をもたず、Bも最小元をもたない

この内、(1)はありえない
なぜならば、Aの最大元をm、Bの最小元をMとすると、(m + M)/2は有理数でA, Bのどちらにも属さないから

(2), (3)の場合は、有理数と対応する
(2)と(3)で境界の数が同じものは同一視すれば、
(2)(3)型の切断全体と有理数全体が1対1対応する

これと(4)型の切断の合併をRとする

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 19:41:17.04

Rの加法、乗法を

(A, B) + (A', B') := (A + A', B + B')
(A, B) (A', B')
:= (A+ A'+, B B') (if 0∈A, 0∈A')
:= (B B'-, A+ A') (if 0∈A, 0∉A')
:= (B- B', A, A'+) (if 0∉A, 0∈A')
:= (A, A', B- B'-) (if 0∉A, 0∉A')

で定める（境界を含む/含まないなどで不具合があれば適当に修正してくれ）
Rは体になる（(0)が極大イデアルであることを示せばいい）

Rの半順序を

(A, B) ≤ (A', B')
:⇔ a∈A, b'∈B' ⇒ a < b

で定める
≤は全順序になり、Rは順序体になる

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 19:43:04.23

ただし

A + A' := {a + a' : a∈A, a'∈A'}
A+ := {a∈A : a > 0}
B- := {b∈B : b ≤ 0}

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 19:43:33.66

細かな間違いはあるだろうが、概ねこんな流れだろう

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 19:51:54.10

(仮定、前提、公理として)存在しているものから(公理的)集合論操作で構成したものは存在する、
これは自明の理として存在証明のOKパターンな事だけ補足しておくよ

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 20:01:42.17

>>301
>例えば実数は体、順序構造、連続性をもつものとして定義する

これは数論とか超準解析とか特定の用途でご都合定義や対比で採用(完備(非)アルキメデス順序体)する位で
well definedかどうかの議論は本来は必要だし>>302のツッコミが入るのは当然

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 20:04:25.08

>>320
>存在論
そう言うのが寄り付かないのが現代数学の良い所の1つかも

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 20:44:59.91

>>319
自己紹介乙

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 20:45:46.33

>>327
意味不明

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 20:55:50.13

>>325
ご苦労さん、実数の公理があるだけなんで証明するものではない

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 21:29:20.68

アホすぎる

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 21:32:26.82

自己紹介乙

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 21:49:55.52

ポエム連投しか能が無いのに、かっこつけで数学の話してみたら秒でボロが出るザコ（笑）

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 21:53:20.15

自己紹介乙

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 21:55:11.91

頭ついてるのかｗ

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 21:57:07.42

馬鹿といわれなきゃ分からない馬鹿

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 00:50:06.56

ま、何だな。近年の計算機ってさ内部2進数か稀に十進数
であり、絶対に絶対にゼッタイに内部３進数はないよな

で、本題。何で、地球の計算機ってさ
-27の1/3乗はエラーにならず-3って答え出せるの❓

ちなみに、-27の0.33333333乗はダメだった。
1/3と0.33333333333…5 の差は如何なるεより小さいのか❓
地球人って数学もコンピュータもどっちも、ズルしてるな🥳

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 15:34:00.46

いずれ量子コンピュータの時代になるから
コンピュータ=2進数のイメージはすたれていくだろうな

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 16:09:15.10

>>337,339
そんなことより、これを大学数学初年度の回答レベルで解いてみてよ
https://i.ytimg.com/vi/gt5VVmztpak/hqdefault.jpg

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 16:13:56.69

>>340
スレタイ読めよ

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 16:31:40.11

カリー・ハワード同型対応

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 17:31:21.11

>>340
明らかに成り立たないし、そもそもnが定義されていなかったり問題として成り立ってない

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 17:33:24.91

Curry-Howard Correspondence
https://web2.qatar.cmu.edu/cs/15317/lectures/04-curryhoward.pdf

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 17:35:24.46

カリー・ハワード対応 (Curry-Howard correspondence) は、数学と計算理論の分野で重要な関係性を表す概念です。この対応は、論理学と型理論の間の深い関連を示しています。

カリー・ハワード対応は、次のような三つの分野間の関係を表しています。

1. 論理学: 論理的な命題や証明体系
2. 型理論: プログラミング言語や計算の型システム
3. 圏論: 数学的構造を研究する分野

これらの分野の対応関係は次のようになります。

1. 論理学の命題や証明は、型理論の型とプログラムに対応する。
2. 論理学の証明の形式は、型理論のプログラムの構造に対応する。
3. 圏論における対象や射は、型理論における型や関数と対応する。

この対応関係は、論理学の証明とプログラミング言語のプログラムの間に類似性があり、その間の数学的な形式的関係を示しています。これは、プログラムの正しさや証明の正当性を検証するための形式手法に関連しており、特に依存型や型理論に基づく証明支援系で重要な役割を果たしています。

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 18:01:37.43

n乗根のアルゴリズムは選択公理みたいに解の集合から一つ選択するんだよね
ここで空集合と空でない集合という、なんというか
反なめらか勢力？

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 18:54:49.14

>>345,346
そんなことより>>340の題意は伝わってるようだね
成立してるよ

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 21:01:49.49

ばーか

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 21:03:04.14

しねぇ！！！

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 21:05:37.59

ポエム、死すべし

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 21:06:32.75

賢こぶるなカスが

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 21:08:00.17

きゅうりを育てる
プロジェクトX

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 21:09:06.06

メークインの

メッカ

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 21:11:20.78

しねええええっ！！

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 21:12:18.68

カリー・ハワードって別にそれで何かブレイクスルーが起こったわけでもない
無意味に持ち上げすぎだろ

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 21:12:56.63

はーか

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 21:15:22.83

Pachinkoですった借金
積もりに積もって、、もどーる

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 21:16:45.23

しねええええっ！！！

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 21:17:45.68

かわいそうに・・・

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 21:18:44.24

自己実現欲求が満たせないゴミめ

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 21:22:14.67

グランドペチカ

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 21:23:49.80

ブレイクスルーのたびに歴史の断絶があるのは面倒だから
数学に期待されることはおそらく断絶を阻止すること

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 21:26:35.11

しねえええええっ！！！

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 21:28:36.61

だまれー！！

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 21:33:33.59

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 21:34:29.00

青い眼をした
銀河団本中二

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 21:34:53.48

サンリオ😂

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 21:37:39.74

まくら

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 21:38:11.07

なんでまゆげ透けてんの？

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 21:38:39.99

コロス
えいディス寿司実いたしますかな

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 21:45:06.43

凹凸がないって、美しい

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 21:46:19.26

効果音は、Diggy

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 21:46:44.33

まつげ、性的、いい匂い

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 21:49:02.99

松永豊

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 21:49:35.08

低所得者は、動物と同じ

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 23:43:41.31

効いてるな

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/17(水) 05:17:52.87

すぐ怒る人は、想像力が乏しい

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/17(水) 05:31:12.83

社会正義を気取ったコンプレックスの初ライブ

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/17(水) 05:34:52.94

発露

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/17(水) 05:38:55.39

ちんぼ喪失ドM尊厳破壊

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/17(水) 05:56:42.90

>>340

P(x) = x^2
f_1(x) = 0

[∀x∈R, P(x) ≥ 0]∧[P(x) ≠ (f_1(x))^2]

？

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/17(水) 06:19:24.07

>>381
そこまで話が通じないとはw
ネタだろうけど出来損ないAIを真似た皮肉かなw

マジネタだったらそう言ってくれ、多少は補足するから

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/17(水) 06:25:43.54

前提
Pは任意の実係数多項式で∀x∈R, P(x) ≥ 0を満たすもの

示すべき事
この時、ある自然数nと実係数多項式f_k(x)、k=1..nが存在して
>>340の等式を満たすことが出来る

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/17(水) 06:26:20.25

やり取りするのも面倒だから書き下したよ

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/17(水) 06:41:39.48

>>383と>>340が数学の主張として異なるということが理解できないということ？

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/17(水) 06:42:33.01

それとも、問題に不備があったことを素直に謝罪できない性格だということ？

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/17(水) 06:44:24.20

>>381マジレスだったのかよwwww

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/17(水) 06:55:34.85

奇数次ならかならず符号が逆転するので偶数次
x → x + aと変換して、奇数次の項消してけばいいよ

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/17(水) 07:06:37.75

平方完成で

a(f(x))^2n + b(g(x))^2(n-1) + ... + c(h(x))^2 + d

の形にはできる
a, b, ..., c, dが正の数になることがわかればいい

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/17(水) 07:14:37.17

>>388,389
問題自体は高校数学
大学レベルの隙の無い回答を求められているけど
妥協して高校基準でも

0点

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/17(水) 07:24:42.19

∀x, P(x) ≥ 0なので、最高次の係数はかならず正

a(x + A)^2n + bx^2(n-1) + ...

の形にできる
b ≥ 0ならOK
b < 0ならどうする？

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/17(水) 07:33:59.44

Z世代かな?

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/17(水) 07:41:11.30

∀x, (x^2 + a)^2 - x^2 ≥ 0 となるようaをとってみる

x^4 + (2a - 1)x^2 + a^2
= (x^2 + a - 1/2)^2 + a^2 - (4a^2 - 4a + 1)/4
a ≥ 1/4ならOKなのでa = 1/4とする

x^4 - 1/2 x^2 + 1/16
= (x^2 - 1/4)^2

4次の場合は

(x^2 + A)^2 + (X + B)^2 + C^2

の形にできそう
6次は？

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/17(水) 07:56:34.24

問題に不備があったら出題も採点も自分でやればいい
それを自分でやってはいけないという思考それこそが他責思考である

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/17(水) 08:38:41.15

P(x)は実数係数多項式で、∀x∈R, P(x) ≥ 0が成り立つとする。

P(x)の次数は偶数。
∵ 奇数なら、x → ±∞ どちらかの極限が-∞になるから。

deg(P(x)) = 2dとする
d = 0のとき、P(x)は非負の定数Cなので、P(x) = √C^2と書ける。

2(d-1)以下の偶数次のR係数多項式では、
∀x∈R, Q(x) ≥ 0 ⇒ Q = f_1^2 + ... + f_n^2と書ける
が成立すると仮定する

{P(x)|x∈R}は下に有界
十分大きなr > 0を取れば、|x| > rでのP(x)の値は、[-r, r]でのP(x)の値よりも大きくできる。
よって、P(x)は最小値m > 0を持つ。

P(x) = mとなるxをx_0
F(x) = P(x) - mとおく
F(x)はF(x_0) = 0で、x = x_0で極小値をとるから、あるQ(x)が存在して
F(x) = (x - x_0)^2 Q(x)
となる。

Q(x) = F(x)/(x - x_0)^2は、次数2(d-1)以下でつねに非負だから、仮定より
Q(x) = f_1(x)^2 + ... + f_n(x)^2
と書ける。

よって、
P(x) = (f_1(x)(x - x_0))^2 + ... + (f_n(x)(x - x_0)^2 + √m^2
と書ける。

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/17(水) 08:39:47.33

多変数では同様のことは成り立つのかな？

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/17(水) 08:48:45.47

二次式の場合は成り立つ

x∈R^n
Q(x) = txSx　tは転置
とすれば、Sは実対称行列になるから、適当な基底変換Tで

Q(Tx) = a_1(x_1)^2 + ... + a_n(x_n)^2

となるつねに非負なのは、∀i, a_i ≥ 0となるとき。

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/17(水) 09:03:30.45

プログラミングしろよ
何を手で解いとんねん
無能かよ

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/17(水) 09:05:43.22

酒をのんだら、無意識に呼吸できなくなった

寝られない

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/17(水) 09:19:11.73

>>395
100点(最小値mは≧0なのはお目こぼしとして)

演習で板書すると100点でも理解度を確かめるために既知として良い所も
訊かれた経験あるかも知れないけど、例えば、この部分を噛み砕いて見てよ

>F(x)はF(x_0) = 0で、x = x_0で極小値をとるから、あるQ(x)が存在して
>F(x) = (x - x_0)^2 Q(x)
>となる。

(他にも最小値の存在を暗黙裡にしたらツッコミどころだった)

>>396
そこまでは知らない、>>340はユーチューブの拾い物なだけだから
https://youtu.be/gt5VVmztpak
(そこでは別解がなされてる)

>>398
Lean4で回答してくれても良いよ

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/17(水) 10:01:20.89

いろいろ具体例で実験して発見するのだなあ

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/17(水) 10:41:17.51

ある朝、男が牧場の近くを通った時、腕時計が壊れていることに気づきました。
牧場には、牧草の束にもたれて寝ている牛飼いがいたので、男は「今、何時ですか」と尋ねました。
すると、牛飼いは近くの牛の金玉を持ち上げて、「8時10分だよ」と言いました。
男は怪訝に思いながらも、お礼を言って牧場を後にしました。

その日の夕、時計を直した男は再び牧場のそばを通りました。
牧場には、朝の牛飼いが牧草の束にもたれて寝ていました。
男は牛飼いに「今、何時ですか」と尋ねました。
牛飼いは、やはり牛の金玉を持ち上げて、「5時30分だよ」と言いました。
男は自分の時計を見ました。時計は牛飼いの言うとおり、5時30分を指していました。
男は驚き、「どうして牛の金玉で時間がわかるのですか」と牛飼いに尋ねました。
牛飼いは笑って、「向こうの時計台を見ていただけだよ」と言い、牧場の向こうを指差しました。