Cygwinのインストールの際の注意事項があります。
コンピュータのCPUが何ビットであるか調ベておく事が大切です。

32ビットCPUを搭載したコンピュータには、
32ビット用のCygwinをインストールすること。

64ビットCPUを搭載したコンピュータには、
64ビット用のCygwinをインストールすること。

これを間違えればCygwinのインストールができません。