(defun message-to-clipboard (old-fun format &rest args)
(kill-new (apply #'format format args))
(apply old-fun format args))
(advice-add 'message :around #'message-to-clipboard)

これでエラーメッセージ以外はクリップボードに行くはずだけど
全部の出力が行っちゃうからあまりお勧めは出来ないな
出力関数が特定出来ればそれにadviceすればいいと思うし