awk の文はただの文字列でしかない
awk '($3 !~ /'"$aaa"'/) && ($4 ~ /01/)' output.txt
でも、
awk "(\$3 !~ /${aaa}/) && (\$4 ~ /01/)" output.txt
でも(他にエスケープ必要なのあるかな?)、
普通にシェル変数を(文字列内に)展開するのと変わらんぞ