>>121 続き
＞従って②の定義は「exp(x + jy) = exp(x)・(cos(y) + j・sin(y))」としなければならないし
以上より exp(x + jy) = e^x・(cos(y) + j・sin(y)) …④で問題ありません。

だから、x ∈ R とすれば exp(x) = e^x(cos0 + j・sin0) = e^x になります
つまり
>>114 をより正確にいえば
「exp(x) は e^x の自然な拡張」となり、>>112 は誤りとなります

また exp(z) の絶対値を考えると
.(exp(x + jy)) = √((e^x・cos(y))^2 + (e^x・sin(y))^2)
= e^x・√(cos^2(y) + sin^2(y))
= e^x
すなわち |exp(z)| = |e^x| すなわち複素指数関数の絶対値は引数の実部によって決まり、引数の虚部の影響を受けません
以上の議論は
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%8C%87%E6%95%B0%E5%87%BD%E6%95%B0
に書いてありました