「数学」をプログラミングするには

**デフォルトの名無しさん** · 2024/03/16(土) 19:41:45.98

たとえば、プログラミングで

π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...

を近似ではなく厳密に確かめるにはどうしたらいいの
人間が証明できるってことは、有限なアルゴリズムに書き換えられると思うんだけど

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/14(日) 17:09:16.02

>>260
まず「極限はnになる」の基礎となる理論から調べたら？
εδ論法は理解してる？

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/14(日) 18:00:53.57

極限と帰納法は違うんじゃね

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/14(日) 19:52:08.91

極限と帰納法は違うということを証明してください

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/14(日) 20:14:25.72

わかった

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/14(日) 20:18:26.95

背理法を使う

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/14(日) 20:19:29.14

極限と帰納法が同じであると仮定する

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/14(日) 20:24:59.80

極限とは位相空間のある点の近傍にある番号から先の有向族が入ることである

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/14(日) 20:25:51.73

位相空間とは開集合の族が定義された空間である

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/14(日) 20:29:03.05

帰納法とは順序集合においてある命題がある番号まで成立としたとき次の番号の命題が成立することである

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/14(日) 20:29:14.79

ふー

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/14(日) 21:43:21.13

順序集合とは半順序が定義された集合である

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/14(日) 21:54:07.48

帰納的集合かな

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/14(日) 22:02:11.90

>>270
うん…。
まあ、そもそも有限ステップで証明可能な事と、近似値ではない真の値を求めることを混同してる>1が悪いって事やね。
ε-δ論法で証明出来るのはいくらでも精度の高い近似値を求められる（それをもって極限の存在を証明）ってだけやし。

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/14(日) 22:33:23.89

継承的集合でいいな

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/14(日) 22:49:19.66

>>286
お前が馬鹿なだけだよ
他責にすんな

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/14(日) 23:06:54.86

>>286
1/3 = 0.33...は無限につづくから真の値は求められないとか言ってるようなもん

小学生レベル

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 01:24:44.77

>>289
無理数はまさしく真の値は求められないだろ？
それこそスパコンで何兆桁求めたとかニュースになるけど、それでも近似値でしかない。
証明はあくまで存在を保証するだけ。

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 02:17:00.24

>>290
「コーシー列の極限」が実数なんだから、コーシー列を与えれば真の値になるだろ。
証明は数列が極限を持つことを示せば良く、数を無限に並べる必要は無い。

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 02:18:27.89

他責というか他人からもらった情報を丸暗記しなければいい
たとえば嫌いな問題は飛ばして好きな問題で点数を稼ぐのも
与えられた情報を好き嫌いで切り取ってしまう技術

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 02:29:44.50

πの任意の桁は定数時間で求まる

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 07:29:11.29

>>291
いあ、だから。それが真の値の存在を示してるだけって事だろ。
証明の厳密さが違うだけで、意味としては同じだ。

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 07:51:45.06

値のサイズが大きかろうが無限だろうがそれを指すポインタのサイズは小さい

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 08:15:15.77

>>294
同値判定(ついでに大小判定)できるんだから「存在だけ証明」じゃないだろ。
確かに四則演算は有理体で閉じていないけど、拡大体を考えれば問題ない。

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 08:24:20.81

>>296
おっと
×有理体 ○有理数体

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 08:29:15.90

>>296
それについては言い過ぎたと謝罪するけど、それって結局真の値は分からなくても√２って記号に押し込めれば順序比べられるし四則演算出来るってのと変わらない。

>1の求める近似値ではない厳密って何？って話になるが。

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 08:51:17.84

>>298
当たり前だろ。無理数は有理数じゃないんだから、有理数とは対応しない。

現代の数学は「実数=コーシー列の極限」で構築されているから、コーシー列が分かれば実数そのものとして扱うことができる。

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 09:09:27.70

連日レス乞食

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 09:36:29.81

>>299
実数の構成に5つぐらいある、切断とか。それに同値なものを同じものとみなすこともよくやる。
例えば実数は体、順序構造、連続性をもつものとして定義する

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 09:49:54.71

>>301
その存在示すのに、切断やコーシー列使うんやろ

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 10:50:20.08

>>302
存在とは？

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 11:21:19.32

数学系のためのLean勉強会
https://haruhisa-enomoto.github.io/lean-math-workshop/

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 12:00:05.12

>>303
実数体Rの存在

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 12:44:15.61

>>305
だから存在をどうやって示すんだ

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 12:50:03.22

>>306
クロネッカーみたいだな。

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 14:37:35.85

>>306
微分積分の教科書読めよ

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 15:20:17.14

>>306 >>308
微積というよりも解析だな。

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 16:24:37.72

>>308,309
お前が言うなｗｗｗ

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 16:25:33.86

上に書いておいただろ、ど素人目が

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 17:00:38.31

素人はお前だ
イキがんな

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 17:32:13.23

自己紹介乙

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 17:36:31.60

上から目線で語ったと思ったら実は下だった件ｗ

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 17:36:43.64

>>306
> だから存在をどうやって示すんだ

こんな解析学の教科書の最初に書いてあることが分からずに実数論の講釈を垂れてた恥ずかしいやつ→ID:scEUff9F

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 17:40:34.97

>>315
証明してくれ

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 18:18:17.39

>>315
証明できないのならどの本の何ページに証明が書いてあるのか教えてくれ

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 18:41:51.88

デデキント切断や完備化などが出てきても
有理数を既知として実数体を構成しているということが理解できない
これでは数学書をいくら読んでもザルで水をすくうようなもの

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 18:47:48.86

横からだけど>>317は
理系の大学数学(所謂現代数学)における論理展開の流れや
存在の証明とされるパターンが分かってないから、かなりの独学なのかな

始めの内は簡単な教科書を(定理部分だけ)拾い読みするんじゃなくて
書いてある文章や定義、証明を精読しないと論理展開が抜け落ちて話が通じないよ

>>318が書いてくれたか、任せた

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 19:01:28.04

存在論を厳密にやり過ぎるとクソどうでもいい心理学の信者が増える

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 19:39:20.03

Q = 有理数の全体
Qの部分集合A, Bの組(A, B)で以下をみたすものをQの切断という

A ≠ ∅, B ≠ ∅
A∪B = Q
a∈A, b∈B ⇒ a < b

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 19:39:48.13

Qの切断C = (A, B)に対して、論理的には次の4つの可能性がある

(1) Aは最大元をもち、Bも最小元をもつ
(2) Aは最大元をもつが、Bは最小元をもたない
(3) Aは最大元をもたないが、Bは最小元をもつ
(4) Aは最大元をもたず、Bも最小元をもたない

この内、(1)はありえない
なぜならば、Aの最大元をm、Bの最小元をMとすると、(m + M)/2は有理数でA, Bのどちらにも属さないから

(2), (3)の場合は、有理数と対応する
(2)と(3)で境界の数が同じものは同一視すれば、
(2)(3)型の切断全体と有理数全体が1対1対応する

これと(4)型の切断の合併をRとする

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 19:41:17.04

Rの加法、乗法を

(A, B) + (A', B') := (A + A', B + B')
(A, B) (A', B')
:= (A+ A'+, B B') (if 0∈A, 0∈A')
:= (B B'-, A+ A') (if 0∈A, 0∉A')
:= (B- B', A, A'+) (if 0∉A, 0∈A')
:= (A, A', B- B'-) (if 0∉A, 0∉A')

で定める（境界を含む/含まないなどで不具合があれば適当に修正してくれ）
Rは体になる（(0)が極大イデアルであることを示せばいい）

Rの半順序を

(A, B) ≤ (A', B')
:⇔ a∈A, b'∈B' ⇒ a < b

で定める
≤は全順序になり、Rは順序体になる

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 19:43:04.23

ただし

A + A' := {a + a' : a∈A, a'∈A'}
A+ := {a∈A : a > 0}
B- := {b∈B : b ≤ 0}

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 19:43:33.66

細かな間違いはあるだろうが、概ねこんな流れだろう

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 19:51:54.10

(仮定、前提、公理として)存在しているものから(公理的)集合論操作で構成したものは存在する、
これは自明の理として存在証明のOKパターンな事だけ補足しておくよ

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 20:01:42.17

>>301
>例えば実数は体、順序構造、連続性をもつものとして定義する

これは数論とか超準解析とか特定の用途でご都合定義や対比で採用(完備(非)アルキメデス順序体)する位で
well definedかどうかの議論は本来は必要だし>>302のツッコミが入るのは当然

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 20:04:25.08

>>320
>存在論
そう言うのが寄り付かないのが現代数学の良い所の1つかも

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 20:44:59.91

>>319
自己紹介乙

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 20:45:46.33

>>327
意味不明

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 20:55:50.13

>>325
ご苦労さん、実数の公理があるだけなんで証明するものではない

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 21:29:20.68

アホすぎる

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 21:32:26.82

自己紹介乙

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 21:49:55.52

ポエム連投しか能が無いのに、かっこつけで数学の話してみたら秒でボロが出るザコ（笑）

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 21:53:20.15

自己紹介乙

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 21:55:11.91

頭ついてるのかｗ

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/15(月) 21:57:07.42

馬鹿といわれなきゃ分からない馬鹿

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 00:50:06.56

ま、何だな。近年の計算機ってさ内部2進数か稀に十進数
であり、絶対に絶対にゼッタイに内部３進数はないよな

で、本題。何で、地球の計算機ってさ
-27の1/3乗はエラーにならず-3って答え出せるの❓

ちなみに、-27の0.33333333乗はダメだった。
1/3と0.33333333333…5 の差は如何なるεより小さいのか❓
地球人って数学もコンピュータもどっちも、ズルしてるな🥳

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 15:34:00.46

いずれ量子コンピュータの時代になるから
コンピュータ=2進数のイメージはすたれていくだろうな

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 16:09:15.10

>>337,339
そんなことより、これを大学数学初年度の回答レベルで解いてみてよ
https://i.ytimg.com/vi/gt5VVmztpak/hqdefault.jpg

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 16:13:56.69

>>340
スレタイ読めよ

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 16:31:40.11

カリー・ハワード同型対応

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 17:31:21.11

>>340
明らかに成り立たないし、そもそもnが定義されていなかったり問題として成り立ってない

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 17:33:24.91

Curry-Howard Correspondence
https://web2.qatar.cmu.edu/cs/15317/lectures/04-curryhoward.pdf

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 17:35:24.46

カリー・ハワード対応 (Curry-Howard correspondence) は、数学と計算理論の分野で重要な関係性を表す概念です。この対応は、論理学と型理論の間の深い関連を示しています。

カリー・ハワード対応は、次のような三つの分野間の関係を表しています。

1. 論理学: 論理的な命題や証明体系
2. 型理論: プログラミング言語や計算の型システム
3. 圏論: 数学的構造を研究する分野

これらの分野の対応関係は次のようになります。

1. 論理学の命題や証明は、型理論の型とプログラムに対応する。
2. 論理学の証明の形式は、型理論のプログラムの構造に対応する。
3. 圏論における対象や射は、型理論における型や関数と対応する。

この対応関係は、論理学の証明とプログラミング言語のプログラムの間に類似性があり、その間の数学的な形式的関係を示しています。これは、プログラムの正しさや証明の正当性を検証するための形式手法に関連しており、特に依存型や型理論に基づく証明支援系で重要な役割を果たしています。

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 18:01:37.43

n乗根のアルゴリズムは選択公理みたいに解の集合から一つ選択するんだよね
ここで空集合と空でない集合という、なんというか
反なめらか勢力？

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 18:54:49.14

>>345,346
そんなことより>>340の題意は伝わってるようだね
成立してるよ

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 21:01:49.49

ばーか

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 21:03:04.14

しねぇ！！！

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 21:05:37.59

ポエム、死すべし

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 21:06:32.75

賢こぶるなカスが

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 21:08:00.17

きゅうりを育てる
プロジェクトX

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 21:09:06.06

メークインの

メッカ

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 21:11:20.78

しねええええっ！！

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 21:12:18.68

カリー・ハワードって別にそれで何かブレイクスルーが起こったわけでもない
無意味に持ち上げすぎだろ

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 21:12:56.63

はーか

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 21:15:22.83

Pachinkoですった借金
積もりに積もって、、もどーる

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 21:16:45.23

しねええええっ！！！

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 21:17:45.68

かわいそうに・・・

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 21:18:44.24

自己実現欲求が満たせないゴミめ

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 21:22:14.67

グランドペチカ

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 21:23:49.80

ブレイクスルーのたびに歴史の断絶があるのは面倒だから
数学に期待されることはおそらく断絶を阻止すること

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 21:26:35.11

しねえええええっ！！！

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 21:28:36.61

だまれー！！

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 21:33:33.59

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 21:34:29.00

青い眼をした
銀河団本中二

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 21:34:53.48

サンリオ😂

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 21:37:39.74

まくら

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 21:38:11.07

なんでまゆげ透けてんの？

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 21:38:39.99

コロス
えいディス寿司実いたしますかな

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 21:45:06.43

凹凸がないって、美しい

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 21:46:19.26

効果音は、Diggy

**デフォルトの名無しさん** · 2024/04/16(火) 21:46:44.33

まつげ、性的、いい匂い