あなたの証明がおかしいのは p = 3 の場合、それも途中までを議論すれば十分です。
　まず x、y、z は自然数（もしくは 0 でない有理数）と仮定します。x、y、z のうちどれか1つでも実数ならば
　　x^3 + y^3 = z^3 ･････①
が成り立つからです。したがって①を変形するとき、両辺に実数を掛けてはいけません。実数を掛けて時点で①が成り立ってしまいます。

　x、y、z は 0 でない有理数で
　　x^3 + y^3 = z^3 ･････①
を満たしているとする。z - x は必ず有理数になるから、有理数 r を用いて
　　r = z - x
とおくと
　　x^3 + y^3 = (r+x)^3 ･････②
　②の両辺を有理数 r^3 で割る。
　　(x/r)^3 + (y/r)^3 = (1+x/r)^3
　　(y/r)^3 = 1 + 3(x/r) + 3(x/r)^2 + (x/r)^3 - (x/r)^3
　　　　　　= 1 + 3(x/r) + 3(x/r)^2.
　　(y/r)^3 - 1 = 3{ (x/r) + (x/r)^2 } ･････ ※
　※の両辺に有理数 r^2 を掛ける。
　　r^2{ (y/r)^3 - 1 } = 3(rx + x^2) ･････③
　有理数に四則演算を施した結果はやはり有理数なので③の因数である
　　r^2,　(y/r)^3,　rx,　x^2
は有理数である。したがって 有理数 A、B、C、D を用いて
　　A = r^2,　B = (y/r)^3,　rx = C,　D = x^2
とおけば③は
　　A(B-1) = 3(C+D) ･････③'
となるが、この式から A = 3 と断定できない。A ≠ 3 でも③'を満たす有理数は無数に存在する。
　たとえば
　　A = 2/7,　　B = 8,　 C = 1/3,　 D = 1/2
のとき
　　A(B-1) = (2/7)(8-1) = 2
　　3(C+D) = 3(2/3) = 2