昔ながらの英語教育を受けた親からみたら、その進度までいってるのに、meを「私の」と訳すなんてもう終わってるとしか思えないんだろうけど、
そもそも助詞付きで対訳してないだけで、英語を英語としては十分理解してる、ということはありうるよ。

うちの子も公文英語じゃないけど、オンライン英会話週1で2年ゆるくやったのちに、1年生の春に英検5級を受けたとき、
peopleを人々と訳すなんて知らなかったけど、この問題のこの場面ではpeopleを選ぶとか理解できてたし、実際の会話でも使えてた。
色々話せるけど、それを日本語訳したらどうなるかは全く言えなかった。
使える英語を目指すなら、それでいいと思う。

ただ、大学受験と英検1級の試験のときは多読が必要になると思うし、
2級までとれたら、うちの子も公文英語始めてもいいかなと思う。G過ぎあたりから入会できるならば。