タイトル：もりのゆうびんきょく
作：舟崎 靖子
絵：舟崎 克彦
出版社：偕成社

ではありませんか？
昔読んだような記憶があり、検索したらヒットしたのですが…私が記憶しているのはこの絵本です。昔通ってた歯医者でよく読んだ記憶はありますが結末は覚えてません。

お探しの絵本であれば良いのですが…