>>817
さくらのレンタルサーバを使ってるってこと？

その症状から推測される原因は、
・旧Symantecの証明書を使っている
・サーバの中間証明書の設定が不適切（その場合、環境やキャッシュによってエラーが出たり出なかったりする）
のいずれか

エラーメッセージの詳細やURL書いてくれれば原因特定できるけどね

それか、https://www.ssllabs.com/ssltest/　でSSL Server Testやってみるのも良い