ところで、犬IA?に数学的なものの見方をまた教えるのは、文字通り犬にマルクス主義をまた教えるよう
なものだが、オレが高校時代に「発見」した、e^ix=cosx+isinxの導出法をまた教えてやることにしよう
e^ix=cosx+isinxという公式は、オイラーの公式といって波動関数の計算で頻繁に使用されるのだが、オレは
アフォだから、cosxとisinxのマクローリン展開の和がe^ixになるとか、cosx+isinxで微分方程式を立てて、
その微分方程式を解けば、e^ixと等しい事が分かるというような標準的な説明では、我慢が出来なかったので、
欲求不満を持ちながら微積分の学習を続けていたのだが、有利関数の不定積分を勉強している時に、
∫1/(1+x^2)dx=atanx+Cという公式を見て、数学的に問題があるかないかわからないが、以下の様にして、
e^ix=cosx+isinxを説明する事に成功した訳なのだな
まず、1/(1+x^2)を部分分数分解すると、(1/2i)(1/(x-i)-1/(x+i))となり、左側の分数の分母と分子にiをかけ、
右側の分数の分母と分子に-iを書けると、(1/2i)(i/(xi+1)-(-i/(-xi+1))となり、これを積分すると、
(1/2i)(log|xi+1|-log|-xi+1|)+C => (1/2i)(log(|xi+1|/|-xi+1|)+Cとなり、 logの引数の分母と分子に|xi+1|
を書けると、(1/2i)(log(|xi+1|^2/|x^2+1|)+Cとなり、これは、atanx+Cと等しいから、
(1/2i)(log(|xi+1|^2/|x^2+1|)=atanx => log(|xi+1|^2/|x^2+1|)=2iatanxとなり、両辺をe^xの引数にすると、
|xi+1|^2/|x^2+1|=e^2iatanxとなる
ここで、2atanx=y置くと、x=tan(y/2)となるので、右辺はe^iyとなり、左辺は、|isin(y/2)/cos(y/2)+1|^2/
|(sin(y/2)/cos(y/2))^2+1| => |isin(y/2)+cos(y/2)|^2となり、ドモアブルの定理より左辺は結局、
|cosy+isiny|となり、左辺の絶対値を表す記号を取り払うと、cosy+isiny=e^iyとなる