オレは誠実な高卒の賃プロだから、>>134を手抜きをしないで証明しようとすると循環証明と
なるが、オイラーの定理を使うと、どうしてこの循環証明が「証明」されるのか、
一応説明しておこう
その前に、高校の微積分の復習するが、実関数f(x)のf'(x)/f(x)の積分はlog|f(x)|であり、
log|f(x)|の引数に絶対値記号が付いているのは、logの引数が負の領域で定義されて
いないからである
また、f(x)=0でf'(x)/f(x)は不定になるから、広義積分を考慮しなければ、無条件に
f(x)≠0と出来る
それで、>>134の誤魔化しを無くす為には、>>134の
>(1/2i)(i/(xi+1)-(-i/(-xi+1))となり、これを積分すると、
>(1/2i)(log|xi+1|-log|-xi+1|)+C
という箇所を
>(1/2i)(i/(xi+1)-(-i/(-xi+1))となり、これを積分すると、
>(1/2i)(log(xi+1)-log(-xi+1))+C
となる事を証明しなければならないが、∫i/(xi+1)dx=log(xi+1)+Cの部分のみ証明する
y=log(xi+1)とすると、積分関数は微分関数の原始関数だから、x∈Rで
d(log(xi+1))/dx=i/(xi+1)が一意に成立すれば良い事になる
まず、x∈Rでi/(xi+1)が一意の値が存在する事を確認する為に、分母と分子に-xi+1を乗じると、
(x+i)/(x^2+1)となり、分母が0にならない為、x∈Rで一意の値が存在する事が分かる
次にx∈Rでd(log(xi+1))/dxがxが一意の値が存在する事を確認する為に、y=log(xi+1)の
両辺をeの指数にすると、e^y=xi+1となる
次に、yを複素数として、e^y=e^(a+bi)とすれば、指数関数の定理とオイラーの定理により、
e^(a+bi)=e^a*(cosb+isinb)となり、e^a*cosb=1とe^a*sinb=xとなり、
(e^a*sinb)/(e^a*cosb)=x=tanb(-∞<tanb<+∞)となるので、aは一意に決定され、bは2πn+b
という2πの周期の多値となる為、log(xi+1)は多値関数である事が分かるが、
それぞれの値の微分係数は、xが同一であれば同一である為、x∈Rでd(log(xi+1))/dxは、
一意の値が存在する事が分かる
これで、∫i/(xi+1)dx=log(xi+1)+Cが証明されたことになり、>>134で誤魔化していた
部分の誤魔化しが解消されたことになる