朝の国メインクエをどのキャラでやっても
黒い祠が一度解放されれば週間討伐はメインクエをやっていない別のキャラでも可能

メインクエで最初に解放するのは竹葉軍になると思うので
それだけ終わったら別のキャラに切り替えてみて黒い祠にチャレンジできるか確認すれば分かります

ただ、週間の討伐だけ消化するにしても結局は朝の国に行って現地のボス召喚場所に出向く必要はあるので
メインの狩りキャラで朝の国のメインクエから週間討伐まで全てまとめて処理する方が良いかもしれない