>>110
そうですね。その力業でも行けます。ただ技法的に早くて楽なのは、
(k - x)(k - y)(k - z) = 0
と置いて、変数kが定数のxかyかzのいずれかと同値になったときに、
右辺が0を返すように式を立てることですね。

(左辺) = k^3 - (x + y + z)k^2 + (xy + yz + zx)k - xyz　― ※
と係数が循環式になる三次方程式に展開できることを知っていれば、

1/x + 1/y + 1/z = 3　←→　yz + zx + xy = 3xyz = 3
と両辺にxyzをかけて通分することを思いつくので、これを※式に代入し、

※ = k^3 - 3k^2 + 3k - 1 = 0　（→因数定理で定数項を検算、因数分解）
(k - 1)(k^2 - 2k + 1) = 0
　 (k - 1)^3 = 0

したがって、x = y = z = 1　となりますね。