非対称な鍵を使う暗号、例えばRSAなんかでLogを暗号化するのは無理だと思います。
というのも、RSAのような公開鍵暗号は、AESのような共通鍵暗号に比べると
処理速度が３桁くらい遅いからです。たぶんサーバに与える負荷が大きすぎるかと。

なので、Log自体は共通鍵暗号で暗号化して、その鍵を公開鍵暗号で暗号化して
保存する方法しかないだろうと思います。（SSLのような感じ。）

ただ、Logの暗号化をbbs.cgiでやろうとするとやっかいな点が１つ。
複数起動するbbs.cgiがそれぞれ異なる鍵（乱数）でLogを暗号化すると、
鍵の扱いがとても大変になる可能性があります。
Logを暗号化して保存するデーモンのようなものを作る必要があるかも。