働いている人で会社の社保に単独で入っているなら自分の保険証だけで大丈夫だよ
ソースは自分
両親同居で同一世帯だけど両親国保、自分就業先の社保だから自分の保険証だけで済んだ
（ただし課税証明書は親の分も必要だったけど）

自分が世帯主の国保や社保に入るのなら家族全員分の保険証を持参して手続きに行けば一度で済むんじゃないのかな