これはドラマなのでこのような展開にしてるようですが、実際に
このドラマのようなケースでは、祖母の同意書は不要です
それどころか、祖母が同意書にサインしなかった段階で医師は虐待通告義務違反です
通常は、医師が児相に通告→児相が裁判所に請求or緊急措置発動→手術施行
という流れになります

このドラマで、未成年で出産した人が余計な不安を煽られることがないよう、テロップなどでちゃんと説明すべきでしょう