とりあえずお前のお袋の言い分に対する反論だが

・お前が手帳取る事で将来弟と妹に迷惑がかかる可能性がある
A・今時手帳を持ってるなんて珍しくないし個人情報保護も特に気を遣ってるところだから迷惑がかかったりしない
むしろ補助を受けられたり将来何かあったときに生活保護を受けやすくなったり助けになる
そもそも世間はそこまでお前の家族に興味なんか無い

・手帳を取らなくても働ける可能性がある以上挑戦しろ
A・取らずに働ける可能性があったとして働き続けられるとは限らん
邪魔になったら隠せるし返納すれば記録は抹消される

・お前の目的は「手帳を取る事で入る障害者年金」じゃないのか、取ったら尚更働かなくなるんじゃないのか
A・手帳を取っても年金がもらえるとは限らないし
もらえたとしてそれが何か問題があるのか、正当な権利を行使してるだけだ

・そもそも一対一で話す事じゃない、家族皆で話す事だ
A・いきなり打ち明けたらそれこそ悪影響を与えかねないだろう
こうしてあらかじめ根回ししておくのが非難されるようなことなのか

この辺りはすぐ思いついたぞ