原因が分かりました。

OS 起動直後は Alt + x が効くのに 10 秒もすると効かなくなることが分かり、
スタートアップの何かが悪さをしていると当たりをつけました。旧 PC と新 PC の
スタートアップを見比べ、新 PC にしかないものをひとつずつ無効にしていった
ところ、System Interface Manager: Module I なるアプリケーション(Let's note に
標準で入っている)が悪さをしていることが判明しました。

パナソニックのサイトには「Fn キーとファンクションキーの組合せや、無線
スイッチの切り替えなどのシステムからの状態変化を処理するために必要な
アプリケーションです」とあり、こいつをスタートアップで「無効」にすると
Fn + ファンクションキーの動作が一部効かなくなりましたが、この EXE
ファイルのショートカットをスタートメニュー→プログラムに入れると Fn +
ファンクションキーが有効になりました。

皆さん、お騒がせしました。どうもありがとうございました。

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