AAを作ってクレメンス

**名無しさん＠├＼├＼廾□｀／** · 2022/02/22(火) 20:53:30.98

画像の貼り方知らんけど
あとできたら逃げるかも

**名無しさん＠├＼├＼廾□｀／** · 2022/02/22(火) 20:54:50.76

画像の貼り方教えてください〜

**名無しさん＠├＼├＼廾□｀／** · 2023/03/02(木) 00:03:25.29

よ

**名無しさん＠├＼├＼廾□｀／** · 2023/03/27(月) 02:55:46.50

可逆行列、fは双線型でありA不変である。Aをk代数、Mを右A加群、Nを左A加群とする。
Uがk加群、写像f: M×N→U
M、NのA上のTensor積
φ: M×N→M⊗N ᴀ 一意的に存在する
φ: M×N→U=M⊗N ᴀ
f: M×N→U、g: M⊗N ᴀ→U
Tensor積の普遍性

**名無しさん＠├＼├＼廾□｀／** · 2023/03/27(月) 03:25:58.69

φ: M×N→U以外にφ: M×N→xも存在すると仮定する。
双線型∧A不変なので、k加群の準同型F: M⊗N ᴀ→Xで、ψ=Fφ
が一意的に存在する。
ψ: A→B、φ: A→C、F: C→B
G: X→M⊗N ∧ Gψ=φ
G￮F(φ)=id(φ)よりG￮F≅id(M⊗Nᴀ)
F￮G=idよりF￮G≅ₓ、M⊗Nᴀ≅X

**名無しさん＠├＼├＼廾□｀／** · 2023/03/30(木) 05:52:54.39

M⊗N

**名無しさん＠├＼├＼廾□｀／** · 2023/04/05(水) 11:31:23.38

Aは環、和と積が定義されている
a×b、a･b、ab
一般にAを使う。R、S、…
Sは乗法的集合に使う。

Aは+に関して可換群、単位元は0
Aは×に関して結合法則が成り立つ、単位元1がある
分配法則
0ᴀ、1ᴀ、可換環、逆元、aは可逆元または単元
AˣをAの乗法群、単元群、可逆元群
零環、自明な環
(0+0)A=0A+0A、(0+0)A=0A
∴0A=0、a0=0

**名無しさん＠├＼├＼廾□｀／** · 2023/04/05(水) 11:50:55.05

1=0の時, ∀a∈A、1a=a、0a=0
1a=0aよりa=0
1≠0、{0}を除く、∅を除く
環A≠{0}、集合A≠∅

ℤ、ℚ、ℝ、ℂは環
Mₙ(ℝ)は環
ℤˣ={±1}、ℝˣ=ℝ\{0}、ℂˣ=ℂ\{0}
乗法群=正則行列群、可逆行列群
非可換群
河除環、+と×でKは環になる
∀a∈K∧a≠0⇒a∈Kˣ
可換な河除環→体
非可換な河除環→斜体
ℤは体ではない
1, 2∈Kだが1/2∉K

**名無しさん＠├＼├＼廾□｀／** · 2023/04/05(水) 12:58:08.90

有理数体ℚ、実数体ℝ、複素数体ℂ
nを正整数、ℤ/nℤ={0, 1, …n－1}
X, Y∈ℤ/nℤ、x, y∈ℤとする
(x+y)+z=x+(y+z)である。
x=X+nm₁、y=Y+nm₂とすると
x+y=X+Y+n(m₁+m₂)
X⊕Y=R₁、R₁⊕Z=R₂、
Y⊕Z=R₃、X⊕R₃=R₄とする

(x+y)+z=(X+Y)+Z+n(m₁+m₂+m₃)
=R₁+Z+n(m₁+m₂+m₃+m₄)
=R₂+nM
x+(y+z)=X+(Y+Z)+n(m₁+m₂+m₃)
=X+R₃+n(m₁+m₂+m₃+m₅)
=R₄+nM
よってR₂=R₄より⊕に関して結合法則が成り立つ。
{(N⊖X)⊕X=N=⓪
X=⓪の時
A⊕B=⓪の時, BをAの逆元
B=－A
⓪とN、N∉ℤ/nℤなので不適
⓪⊕⓪=⓪
結合法則和と積
交換法則和と積
分配法則和と積
単位元0と1

**名無しさん＠├＼├＼廾□｀／** · 2023/04/11(火) 10:35:14.18

単位元の存在、逆元の存在、積が定義されている
自明な部分群{1}とG、真部分群G以外の部分群
ℤの任意の部分群はnℤの形をしている
∀x∈ℤ、nx∈nℤとなり、
0+nx=nx+0=nx

e、fとする
f×f=f、f∈H
f=f⁻¹f=e
同様にf+f=f、f+f-f=f-f、f=e
よってe∈H

**名無しさん＠├＼├＼廾□｀／** · 2023/04/11(火) 16:36:58.24

部分集合が群になれば部分群
す分群⇔(1)(2)(3)
Hが部分群⇒(1)(2)(3)を示す。
Gの演算･に関して
1ʜ･1ʜ=1ʜが成り立つ。
∃1ʜ⁻¹∈Hを両辺に左または右から掛けて
1ʜ=1ɢとなる。よだって1ɢ∈Hとなる
HはGの部群であると仮定しているのでGの演算￮に関して閉じている。二項演算￮が定義出来る
よって∀x, y∈H、x￮y∈Hとなる
自明、同語反復。
∀x∈Hに対して∃y∈H
x￮y=y￮x=1ʜとなる。(2)より1ʜ=1ɢ
よってyはGにおけるxの逆元である
x⁻¹=y∈Hである。Hにおける逆元とGにおける逆元は一致する。単位元も一致する。
(1)(2)(3)⇒HはGの部分群
(1)より1ɢ∈HよりH≠∅
(2)より群Gの演算￮に関して
二項演算H￮H→Hが定義出来る
定義されている。
∀x∈H⊂Gに対して1ɢx=x1ɢ=xとなる
ので1ɢはHにおいても単位元である
Hにおいても結合法則が成り立つのは自明である。
∀x, y, z∈G、(xy)z=x(yz)であるから
∀x, y, z∈H⊂Gに関しても結合法則は成り立つ。
∀x∈H、∃x⁻¹∈G、xx⁻¹x⁻¹x=1ɢとなる。ここで1ɢ=1ʜなのでx⁻¹はHにおいてもxの逆元である。
よってGの演算￮によりHは部分群となる。Hは積について閉じている
H₁∩H₂は部分群

**名無しさん＠├＼├＼廾□｀／** · 2023/04/11(火) 16:48:05.40

nℤの単位元0∈nℤを示す
0∈ℤよりn0=0∈nℤより(1)が成り立つ
∀x, y∈ℤ、nx, ny∈nℤとなる。
nx+ny=n(x+y)、x+y∈ℤより
n(x+y)∈nℤ、(2)が成り立つ
nx+(-nn)=(-nx)+nx=0より-nxは逆元である。-nx=n(-x)、-x∈ℤよりn(-x)∈nℤ
よって(3)も成り立つ。よってnℤはℤの部分群であることが示された。

**名無しさん＠├＼├＼廾□｀／** · 2023/04/11(火) 19:41:12.35

G=ℝˣ、{1, -1}はGの部分群である。
1∈Hより(1)
1￮1=1、1￮-1=-1、-1￮-1=1より(2)
1⁻¹=1、(-1)⁻¹=-1より(3)
A∈GLₙ(ℝ)、detA=1
Iₙ=1、detIₙ=1よりIₙは単位元∈H
g, h∈H、det(gh)=(detg)(deth)=1×1=1よりgh∈H、
detg=1≠0よりgは正則行列、可逆行列であるから逆行列hが存在する。
gh=1=Iₙよりdetg detg⁻¹=detす、SIₙ=1
∴detg⁻¹=1、g⁻¹∈H
SLₙ(ℝ)特殊線型群、SLₙ(ℂ)

**名無しさん＠├＼├＼廾□｀／** · 2023/04/17(月) 11:50:40.46

測度2
測度
測度とはℝにおける長さの概念の拡張
[a, b]や[a, b)の長さはb－a
ℝ上の点集合をA、その測度をm(A)とする。
0≦m(A)≦+∞、A=∅の時, m(A)=0
{Aᵢ}を共通部分の無い点集合列とする。
m(A₁+…+Aₙ+…)=m(A₁)+…+m(Aₙ)+…∪[k=1, +∞] Aᵢは直和。
m([xa, b)=b－a、
点集合A≡点集合B⇒m(A)=m(B)
aᵢ=+∞となるiが存在すれば∑=+∞、その他は通常の級数の値
有限集合の場合を含む
ℝ2においては面積、ℝ3においては体積である

**名無しさん＠├＼├＼廾□｀／** · 2023/04/17(月) 11:52:36.65

測度3
外測度
Borel－Lebesgueの被覆定理
被覆する、被覆
A⊂∪[λ∈Λ] A_λ
開被覆、有限被覆、
開近傍U(x)、x∈A
A⊂U(x) (x∈A)、Aの開被覆
Fは有界閉集合、Fの開被覆をGλ (λ∈Λ)
すなわちF⊂∪Gλ (λ∈Λ)
有限個のGλによってFの有限被覆とできる
ハイネ－Borelの定理

**名無しさん＠├＼├＼廾□｀／** · 2023/04/17(月) 11:53:12.21

測度4
Fが有限被覆不可能と仮定する
a=InfF、b=SupFとおく
[a, b]、c=(a+b)/2
[ab]=[ac]∪[cb]、F∩I₁とF∩I₂のうちの少なくとも一方は有限被覆不可能である
もし両者が有限被覆可能ならばFが有限被覆可能となり矛盾
I₁またはI₂のうちF∩Iが有限被覆不可能であるものを選びそれをI₂とおきこれを繰り返す
もしF∩Iₙ=∅ならば∀Gᵢ⊃F∩Iₙ
なのでF∩Iₙは有限被覆可能となり矛盾
[aₙ, bₙ]⊂U(α, ρ)⊂U
αは閉集合Fの触点である
α∈Fᵃ=F
区間縮小法
内核 A_λⁱ