「自立支援を使っている場合の病院再登録」については、
自分自立支援使ってなくて、やったことがないから、
どれくらい手間かわからないけど、
自分が住んでるところの役所に聞いたら、
「役所に来てもらって、病院名を変更する手続きだけでいいですよ、
転院先の医師の診断書も（自立支援の更新でなければ）特にはいらないし、
そんな手間はかからないです」と言われたよ
※薬局も変えるなら薬局も登録変更必要

自分、転院前に自立支援申請するか、
転院後に申請するか迷ってたから聞いてみたら、
こんな答えだった

地域によってもしかしたら事情が違うかもしれないから、
お住まいの地域の役所の担当部署にちゃんと聞いてもらった方がいいと思うけど、
参考までに